6.1 Estática del punto y del Cuerpo Rígido 1
6.1.1 Estática del punto 2
6.1.2 Estática con rozamiento 4
6.1.3 Estática del cuerpo rígido 6
6.1.4 Sistemas de fuerzas equivalentes 13
6.2 Tecnologías que ayudan al Análisis de Fuerzas 17
6.2.1 Análisis estático lineal de un ensamblaje de SOLIDWORKS 17
6.2.2 Resultados de Tensiones 19
6.3 Resultados de Desplazamientos 21
6.4 Distribución del Factor de Seguridad 22
6.5 Conclusiones 23
6. CAP. 6: Análisis de Fuerzas
6.1 Estática del punto y del Cuerpo Rígido
La Estática es el capítulo de la Mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpos sometidos a la acción de fuerzas. Además de tener interés para la técnica, son numerosas las aplicaciones de la Estática a problemas de interés geofísico, por ejemplo el equilibrio y estabilidad en la corteza terrestre tanto a gran escala (isostasia) como a pequeña escala (equilibrio y estabilidad de taludes y pendientes, deslizamientos, avalanchas, etc.) y de las capas fluidas de la Tierra (Océanos, Atmósfera). Para la Biología, aparte de sus implicancias respecto de la estructura y organización de los seres vivientes, interesan las aplicaciones a la dinámica de la biosfera, y por ende a la ecología. En este Capítulo estudiaremos la estática del punto y del cuerpo rígido, y dejaremos para más adelante la estática de sistemas más complejos como sólidos deformables, fluidos o medios heterogéneos (como suelos), que presentan problemas más difíciles aunque lógicamente más interesantes del punto de vista de sus aplicaciones.
6.1.1 Estática del punto
En ausencia de movimiento la aceleración de un punto material es nula y la Segunda Ley de Newton establece entonces que la condición necesaria y suficiente para el equilibrio de un punto material es:
F =0 (11.1)
siendo F la resultante de las fuerzas que actúan sobre el punto. La aplicación de la condición (11.1) se complica a veces porque no se conocen de antemano todas las fuerzas que están actuando.
Este es el caso cuando existen vínculos, es decir condiciones materiales que limitan el movimiento. Los vínculos ejercen reacciones, que obligan al móvil a respetar las condiciones que imponen.
Consideremos por ejemplo un objeto apoyado sobre un plano inclinado (Fig. 11.1). En este caso el vínculo es la condición de que el cuerpo no puede penetrar el plano. Siendo así el plano debe ejercer una reacción que compense exactamente a la componente normal del peso:
R =↕−Pn =mgcos α nˆ (11.2)
siendo nˆ la dirección normal del plano.
Fig. 11.1. Objeto puntiforme sobre un plano inclinado
Si llamamos F a las fuerzas conocidas de antemano (llamadas fuerzas activas) y f a las reacciones
de los vínculos, la condición de equilibrio se expresa
F +f =0 (11.3)
y determina f. En el plano inclinado de la figura,
Pn +f =0 ⇒® f =↕−Pn (11.4)
Por lo tanto para equilibrar el cuerpo es necesario introducir una fuerza adicional que compense la componente de P tangencial al plano:
Pt =Psen α (11.5)
que no está siendo equilibrada por el vínculo. Corresponde aclarar que todo vínculo es un objeto material y su capacidad de reaccionar tiene límites. Si el plano inclinado de la figura es un tablón,está claro que la carga que se le ponga encima no debe superar la resistencia del mismo, de lo contrario se doblará y finalmente se romperá. Si fuese una rampa de tierra, un objeto demasiado pesado se hundiría, etc. Debe quedar claro que en toda aplicación de los principios de la estática hay que controlar que las reacciones requeridas no superen los límites de resistencia de los vínculos, que habrá que conocer en cada caso.
Al discutir vínculos es preciso distinguir:
• Vínculos sin rozamiento (también llamados vínculos lisos). En este caso el vínculo no opone reacción a las fuerzas transversales (esto es, tangentes al vínculo) y por lo tanto f es siempre normal al vínculo:
f =fn nˆ (11.6)
siendo nˆ la normal al vínculo.
• Vínculos con rozamiento (llamados también vínculos rugosos). Aquí debido al rozamiento el vínculo opone una reacción a fuerzas tangenciales, de modo que
f =fn nˆ +ft tˆ (11.7)
donde ft es la componente tangencial de f. Para la reacción normal vale lo dicho antes: es la necesaria para compensar la componente normal de la resultante de las fuerzas activas. En cuanto a la componente tangencial de la reacción, se debe como se ha dicho al rozamiento.
6.1.2 Estática con rozamiento
La fuerza de rozamiento estática tiene las siguientes características:
• es igual y opuesta a la fuerza activa tangencial, siempre y cuando esta última no supere el límite de rozamiento estático.
• si la fuerza activa tangencial supera el límite de rozamiento estático, la fuerza de rozamiento no alcanza a equilibrarlo.
• el valor máximo de la fuerza de rozamiento estático es proporcional a la componente normal de la fuerza activa.
Resumiendo, la componente tangencial de la reacción está dada por las dos condiciones siguientes:
Habrá pues un ángulo máximo αm dado por
tal que si F forma con la normal al vínculo un ángulo αtal que
6.1.3 Estática del cuerpo rígido
La estática de cuerpos extensos es mucho más complicada que la del punto, dado que bajo la acción de fuerzas el cuerpo no sólo se puede trasladar sino también puede rotar y deformarse.
Consideraremos aquí la estática de cuerpos rígidos, es decir indeformables. En este caso para que haya equilibrio debemos pedir, tomando como referencia un punto P cualquiera del cuerpo, que P no se traslade y que no haya rotaciones. Por lo tanto en el equilibrio se deben cumplir las condiciones
es decir que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante (la suma de los momentos de todas las fuerzas) se anule. Por lo tanto es necesario tomar en cuenta el punto de aplicación de cada fuerza. Supondremos ahora que se conocen F y M y dejamos para más adelante el problema de cómo calcularlos.
En primer lugar veremos que las condiciones (11.14) y (11.15) se pueden pedir para un punto cualquiera, porque si valen para P valen también para todo otro punto Q del cuerpo. En efecto, consideremos el punto Q situado en R respecto de P (Fig. 11.4). La condición (11.14) no depende de que punto se está considerando, luego vale para cualquier punto. Por otra parte si la (11.15) se cumple para P, también se cumple para Q, porque como ri =R +ri entonces
En consecuencia la (11.15) se cumple también para Q.
En conclusión las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido son que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante (suma de los momentos de todas las fuerzas) tomado respecto de un punto cualquiera sea nulo.
6.1.3.1 Cuerpo rígido vinculado
Un cuerpo rígido puede estar sometido a varias clases de vínculos. Por ejemplo puede tener un punto fijo, un eje fijo, puede estar apoyado sobre una superficie, etc. Los vínculos reaccionan con fuerzas, que tienen una resultante f y un momento m. Para el equilibrio se debe cumplir entonces que
donde M y m se deben tomar respecto del mismo punto.
6.1.3.2 Equilibrio de un cuerpo rígido con un punto fijo
Si hay un punto fijo está claro que la reacción debe equilibrar a la resultante, o sea f =-F. Esta reacción está aplicada en el punto fijo (el vínculo). Pero entonces, tomando momentos respecto del punto fijo, m =0. Luego la condición (11.17) se cumple siempre y determina f. En cuanto a la condición (11.18) se reduce a
M =0 (11.19)
donde M se debe tomar respecto del punto fijo.
6.1.3.3 Equilibrio de un cuerpo rígido con un eje fijo
Esta claro que en este caso la condición (11.17) se cumple y determina las reacciones. Estas reacciones están aplicadas sobre el eje. Tomando momentos respecto de un punto P cualquiera del eje mi=ri . fi y vemos que m=Σmi es siempre perpendicular al eje. En cuanto al momento de las fuerzas activas, M =M+nˆM
donde Mes la componente de M perpendicular al eje y nˆ la dirección del eje. Ahora bien, Mtiende a girar el eje y como éste está fijo, se cumple siempre que
6.1.3.4 Cuerpo rígido con vínculos rugosos
Cuando hay fuerzas de rozamiento entre el cuerpo y los vínculos las reacciones tienen una componente tangencial que debe ser tenida en cuenta. Veamos esto por medio de un ejemplo. Sea una escalera que está apoyada a una pared, mientras un hombre sube por la misma (Fig. 11.7).
Sea l la longitud de la escalera, m la masa de la escalera más la del hombre y x la posición del centro de masa del hombre más la escalera. Evidentemente el rozamiento contra el piso es lo que impide que la escalera se venga abajo. Sea αAm el ángulo de roce en A, dado por
siendo µA el coeficiente de roce estático entre la escalera y el piso. La reacción fA está contenida en el cono de roce y formará un ángulo αA con la vertical (normal al piso). La reacción fBh en B la supondremos horizontal, lo que equivale a suponer que en B no hay roce.
Las condiciones de equilibrio son mg +fA +fBh =0 cuyas componentes horizontal y vertical son
Tomando momentos respecto de A obtenemos
En este caso el hombre no debe subir pues se vendrá abajo con escalera y todo.
6.1.4 Sistemas de fuerzas equivalentes
Como vimos, el equilibrio de un cuerpo rígido está determinado solamente por la resultante de las fuerzas y la suma de los momentos respecto de un punto cualquiera. Vamos a ocuparnos ahora del problema de calcular la resultante F y el momento total M de un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido, que había quedado pendiente.
Cuando dos sistemas de fuerzas tienen igual resultante e igual momento total son equivalentes en lo que hace a sus efectos sobre el equilibrio. Entonces cuando se tiene un cuerpo rígido sometido a un sistema complicado de fuerzas, conviene reemplazarlo por un sistema equivalente más simple. Hay varias reglas prácticas para este fin y las presentamos a continuación.
6.1.4.1 Deslizamiento de las fuerzas
Toda fuerza se puede trasladar a lo largo de su recta de acción sin cambiar sus efectos. Efectivamente, este traslado no afecta el valor de la resultantes. Tampoco afecta el momento respecto de un punto cualquiera, pues M =r . F =r.F depende sólo de la distancia rdesde el punto a la recta de acción (Fig. 11.8).
Se llaman así aquellas cuyas rectas de acción se cruzan. Por lo dicho se les puede trasladar hasta el punto de cruce y reemplazar por su resultante, cuya recta de acción pasa por el punto de cruce (Fig. 11.9).
Fuerzas cuyas rectas de acción son paralelas son concurrentes en el infinito. Para hallar la resultante y su recta de acción podemos agregar dos fuerzas ficticias F y –F (Fig. 11.10). El sistema F1=(F1+F) , F2=(F2 -F) es equivalente al anterior pero ahora F1y F2se pueden sumar porque sus rectas de acción se cruzan a distancia finita. Por geometría F1d1 =F2d2 .
6.1.4.3 Cupla o par de fuerzas
Cuando dos fuerzas son iguales y opuestas y sus rectas de acción son paralelas forman una cupla (Fig. 11.11). Para toda cupla se cumple que:
• la resultante es nula ( F1 +F2 =0) y
• el momento es independiente del punto respecto del cual se lo calcula:
6.1.4.4 Reducción del sistema de fuerzas y momentos
Todo sistema de fuerzas se puede reemplazar por un sistema equivalente constituido por una resultante y una cupla. En efecto, sean F1, F2,..., FN las fuerzas que actúan sobre un rígido, aplicadas en los puntos P1, P2,…, PN, y sea P un punto cualquiera. Si en P imagino aplicadas, para cada fuerza Fi , dos fuerzas, una igual a Fi y otra a −Fi tendré un sistema equivalente (Fig.11.12). Pero ahora la fuerza Fi aplicada en Pi y la –Fi aplicada en P forman una cupla cuyo momento vale
6.2.1 Análisis estático lineal de un ensamblaje de SOLIDWORKS
Productos: COSMOS/Works para SolidWorks
Versión: Todas las Versiones
Categoría: Preprocesado, Análisis y Postprocesado
Ultima revisión: Diciembre-2001
Análisis de Tensiones y Desplazamientos de un conjunto de piezas ensambladas en SolidWorks. La geometría de partida se crea de forma interactiva con SolidWorks. A continuación el usuario puede realizar tantas simulaciones (llamadas "estudios") como desee sometiendo al sistema mecánico a diferentes estados de carga y condiciones de contorno, o "probar" el comportamiento de la estructura con diferentes materiales y así conocer su resistencia real sin necesidad de construir numerosos y costosos prototipos físicos.
6.2.2 Resultados de Tensiones
Las siguientes imágenes muestran los resultados de tensiones von Mises (MPa) vistos en planta y un detalle del tornillo de anclaje, así como la animación en formato .AVI de la distribución de tensiones resultantes:
6.3 Resultados de Desplazamientos
Las siguientes imágenes muestran los resultados de desplazamientos resultantes (mm), vistos por delante y por detrás:
6.4 Distribución del Factor de Seguridad
La siguiente imagen muestra a través de un mapa de colores directamente sobre el modelo cómo se reparte del Factor de Seguridad frente a tensiones von Mises en el Diseño. Este Factor de Seguridad resulta de dividir la tensión von Mises en cada punto entre el valor del límite elástico del material, obteniendo así una visión directa de la bondad del diseño, y permitiendo ver qué zonas están más tensionadas que otras, y dónde se puede eliminar/incrementar material. De acuerdo con el criterio de fallo von Mises, el factor de seguridad mínimo del modelo es 4.5:
6.5 Conclusiones
La densidad de malla utilizada es razonable, el tipo de elemento utilizado es TETRA4, elemento sólido TETRAEDRO de 4-nodos de bajo orden con 3 gdl/nodo.
La calidad de la solución es aceptable, aunque la precisión del análisis se puede mejorar utilizando un mallado con tamaño de elemento más reducido, al menos mallar con tamaño máximo de elemento de 2 mm refinando la malla en aquellas zonas de máxima tensión tales como pasadores y tornillo de anclaje, así como utilizar elementos de alto orden TETRA10.
El elemento TETRA4 tiene unas prestaciones reducidas, es un elemento del tipo CST (Constant Strain Tetrahedron, tetraedro de deformación y tensión constante) que ofrece resultados de buena calidad sólo cuando las deformaciones son constantes a lo largo del elemento. El elemento ofrece pobres prestaciones representando estados de carga de flexión o torsión, si el eje de flexión o torsión corta al elemento o es próximo a él. Si se utiliza una alta densidad de malla, el elemento TETRA4 ofrece una buena relación precisión/coste de la solución.
El elemento TETRA10 (elemento 10 nodos, y un total de 30 GDL/elemento) es siempre el más aconsejado para usar en el mallado de modelos sólidos 3D, representa exactamente problemas de flexión pura, pero el coste en tiempo de solución es elevado.
Para validar los resultados obtenidos en un Análisis por Elementos Finitos y comprobar que los mismos sean razonables, lo más importante es constatar que existe equilibrio de fuerzas entre cargas aplicadas y reacciones en los apoyos. COSMOS/Works permite comprobar las reacciones en cada superficie donde se hayan aplicado las correspondientes "restricciones" de movimiento:
Otro aspecto es mejorar la precisión de los resultados: para ello es necesario realizar un estudio de convergencia, refinando la densidad de malla y comprobando la variación de resultados de desplazamientos y sobre todo de tensiones. Si esta variación no es superior a un 8%, podemos decir con seguridad que los resultados obtenidos son válidos y exactos, ya que no son función de la malla al no experimentar cambios apreciables al refinar la misma.
