3.1 Centro instantáneo de rotación 1
3.2 Centro instantáneo de rotación relativo 2
3.3 Teorema de los tres centros 4
3.4 Análisis de la Velocidad 6
3.4.1 DETERMINACIÓN DE CENTROS INSTANTÁNEOS 9
3.4.2 ANÁLISIS DE LA VELOCIDAD MEDIANTE LOS CIR 12
3.4.3 CURVAS POLARES 13
3.4.4 POLÍGONO DE VELOCIDADES 14
3. CAP. 3: Centros Instantáneos de Rotación
3.1 Centro instantáneo de rotación
El centro instantáneo de rotación, referido al movimiento plano de un cuerpo, se define como el punto del cuerpo o de su prolongación en el que la velocidad instantánea del cuerpo es nula.
• Si el cuerpo realiza una rotación pura alrededor de un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación.
• Si el cuerpo realiza una traslación pura el centro instantáneo de rotación se encuentra en el infinito en dirección normal a la velocidad de traslación.
El centro instantáneo de rotación relativo o polo común entre dos sólidos rígidos, referido al movimiento plano de ambos sólidos, se define como el punto de los dos sólidos o de su prolongación en el que la velocidad instantánea es igual para los dos sólidos. Es decir, es el punto en el que no existe velocidad relativa entre ambos sólidos.
El centro instantáneo de rotación de un sólido rígido es un caso particular de centro instantáneo de rotación relativo en el que uno de los dos sólidos es el eslabón fijo (suelo).
Si los dos sólidos rígidos están articulados en un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación relativo entre dichos sólidos. Así, por ejemplo, en la siguiente figura el punto A es el centro instantáneo de rotación relativo entre las barras 2 y 3, B, el correspondiente a las barras 3 y 4, y O2 el del eslabón fijo (suelo) y la barra 2. En este caso, O2 es el centro instantáneo de rotación de la barra 2. Es decir, la barra 2 tiene un movimiento de rotación pura alrededor del punto de unión de dicha barra con el eslabón fijo.
Cuando existe un par prismático entre dos sólidos rígidos, el centro instantáneo de rotación relativo entre ambos sólidos se encuentra sobre la perpendicular común a la dirección de deslizamiento relativo entre ambos sólidos, pero localizado infinitamente lejos en la dirección definida por dicha perpendicular. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de par prismático (entre la deslizadera y el eslabón fijo del mecanismo biela-manivela).
A los pares cinemáticos de rotación y a los pares prismáticos se les denomina centros de rotación instantáneos directos por ser rápidamente identificables. En cambio, cuando el movimiento relativo entre eslabones es más complejo, por ejemplo el que se produce entre los eslabones 3 y 1 del anterior mecanismo, la determinación del centro de rotación instantáneo entre ambos no es directa y es necesario utilizar el teorema de los tres centros (o de Kennedy).
3.3 Teorema de los tres centros
El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:
"Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados"
Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.
Este teorema también puede demostrarse planteando el cálculo de la velocidad del punto Q (centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3) como perteneciente al sólido 2 y como perteneciente al sólido 3:
3.4 Análisis de la Velocidad
En esta sección se realizará un análisis del vector velocidad observando las propiedades de sus componentes. Sea un cuadrilátero articulado ABCD, mostrado en la Fig. 3.2, tal que la manivela de entrada o impulsora AB (eslabón 1) gira con velocidad angular ω1. El punto B tendrá una velocidad tangencial dad por
VB = ω1r1 (3.6)
y que será perpendicular al eslabón AB. Esta velocidad puede descomponerse en V’BC y V“BC, de modo que tales componentes sean respectivamente de la dirección del acoplador BC (eslabón 2) y normal a éste. Es decir:
VB = V’BC + V“BC (3.7)
Como el punto B pertenece también al eslabón 2, que al igual que los restantes es rígido, todos los puntos del segmento BC de esta barra tendrán la misma componente de la velocidad según la dirección BC. En particular, el punto C gozará de tal propiedad. Ahora bien, el punto C también pertenece al eslabón 3 y ha de girar en torno al punto D, con velocidad absoluta normal a CD. Por tanto, llevando V’CB = V’BC y trazando por el extremo de V’CB una perpendicular a BC, se obtiene VC.
La determinación de la velocidad del punto E del acoplador puede hallarse de forma parecida. Descompóngase VB en dos componentes: una de la dirección BE y la otra normal a ella. La componente V ’BE se traslada a E, ya que V’EB = V’BE, por ser BE indeformable (el mismo eslabón 2).
De igual manera, de la velocidad VC se encuentra la componente V’CE paralela a la dirección CE y se traslada al punto E. La velocidad absoluta del punto, VE, se encontrará en la intersección de las dos perpendiculares por los extremos de los vectores V’EC y V’EB, respectivamente a EC y EB. Como práctica podemos intentar averiguar la a velocidad del punto E (figura 3.2).
Según las construcciones realizadas en los diversos eslabones, se llegará a la conclusión que en una misma barra la velocidad de un punto cualquiera (por ejemplo, el C) relativa a otro punto de su propio eslabones (por ejemplo, el B) es siempre perpendicular al segmento que une dichos puntos (en este caso, normal a BC).
Aislando el eslabón BC con las velocidades obtenidas anteriormente VB y VC (figura 3.3) se transporta a C el vector VB. Como la proyección sobre BC de ambas velocidades ha de ser la misma, se llega al resultado que la diferencia de estos dos vectores ha de ser normal a la recta que une los dos puntos. Si se denomina velocidad de B respecto a C mediante la notación VBC, se tiene
VBC = VB – VC (3.8)
Esta velocidad relativa, como se ve en la Fig. 3.3 es normal a BC. El giro de la barra BC está originado por la existencia de velocidad relativa no nula de un punto con relación a otro del mismo eslabón. Si se hubiese hallado la velocidad relativa VCB, ésta sería de sentido opuesto a la encontrada VBC.
Tal como se observa en la figura 3.3, ω2 es del sentido de la agujas del reloj tal como se desprende de los sentidos de las velocidades relativas VBC ó VCB y, por lo dicho, su módulo es
BC 22rVVCBCB==ω (3.9)
Si, de forma análoga, se desea determinar la velocidad angular del eslabón 3, al ser VC la velocidad absoluta de C y siendo VD = 0, VC es también la velocidad relativa de C con respecto a D; esto es, VC = VCD. En consecuencia, la velocidad angular ω3 (figura 3.2) resulta ser
CD 33rVVCCD==ω (3.10)
De igual modo se puede deducir la velocidad angular de cualquier eslabón del mecanismo.
3.4.1 DETERMINACIÓN DE CENTROS INSTANTÁNEOS
Para localizar los CIR seguimos el siguiente método:
1) Hallar el número de centros (N = 4 (4 - 1)/2 = 6).
2) Determinar los inmediatos por simple inspección.
3) Localizar el resto mediante la ley de los tres centros.
En la figura 3.6 muestra un mecanismo de biela-manivela donde se han numerado los eslabones desde el 1 hasta el 4. Al disponer de 4 eslabones, el numero de centros a localizar es de N = 4 (4 - 1)/2 = 6. Con objeto de no omitir ninguno de los polos, se suele trazar un polígono auxiliar de n = 4 vértices (a la derecha de la figura) y se construyen con trazo lleno los centros inicialmente conocidos o inmediatos. Los polos conocidos son P12, P23 y P14 que se determinan de forma inmediata una vez construida la figura.
Todos los centros instantáneos localizados en primera instancia se han detectado por las articulaciones de los eslabones 1 y 2, 2 y 3, así como 1 y 4. El polo P24 se determina en la línea AB, donde se hallan P12 y P14 y por aplicación de la regla de Aronhold-Kennedy. El polo P34 se deberá situar en línea con P23 y P24 y está en el infinito puesto que el eslabón 3 realiza una traslación. Por último, el polo P31 se encuentra donde se corten las rectas definidas por los puntos A y P34, por una parte, y C y B, por otra.
Otro mecanismo de corredera está representado en la figura 3.7, que dispone también de cuatro eslabones con un par prismático entre los elementos 1 y 2. La construcción auxiliar de los eslabones está realizada, en la parte derecha de la figura y se muestra que inicialmente son inmediatos la localización de los polos P14, P34 y P23; restando encontrar otros tres polos más.
El polo P12, al ser el elemento 2 prismático que se desplaza por el eslabón 1, se encontrará en el infinito en la dirección ortogonal a la barra 1. El centro instantáneo de rotación P13 se encuentra como la intersección de las líneas definidas por los polos P12 y P23, de un lado y P14 con P34, de otro.
El centro que resta, P24, se encuentra en la recta BC y en la perpendicular por A al eslabón 1. De esta forma quedan establecidas las posiciones de todos los centros instantáneos de rotación, y a partir de ellos cabe encontrar velocidades en todo el mecanismo.
La figura 3.8 representa una cadena cinemática de 6 eslabonamientos y con N = n (n - 1)/2 = 6 x 5 / 2 = 15 centros instantáneos de rotación, los cuales quedan representados.
3.4.2 ANÁLISIS DE LA VELOCIDAD MEDIANTE LOS CIR
Cuando se conocen los centros instantáneos de rotación de un mecanismo resulta inmediato determinar la velocidad de cualquier punto del mismo, sin necesidad de calcular primero las velocidades de otros puntos. Con el método de los CIR, no es necesario calcular la velocidad de un punto que una físicamente dos barras, sino que calculando la velocidad del CIR relativo de dos eslabones podemos considerar que conocemos la velocidad de un punto que pertenece indistintamente a cualquiera de los dos eslabones.
Es importante resaltar que el CIR se comporta como si perteneciera simultáneamente a ambos eslabones, por tanto su velocidad debe ser la misma si la obtenemos en base a uno u otro eslabón.
Para calcular las velocidades por CIR seguiremos los pasos siguientes:
1. Identificar los eslabones a los que pertenecen:
a) El punto de velocidad conocida.
b) El punto de velocidad desconocida.
c) El eslabón de referencia o barra fija.
2. Se hallan los tres CIR relativos correspondientes a las barras, que estarán en línea recta según nos indica el Teorema de Kennedy.
3. Se calcula la velocidad del CIR relativo de los dos eslabones no fijos, considerándolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida.
4. Se considera la velocidad hallada como la de un punto del eslabón cuya velocidad queremos hallar. Conociendo la velocidad de un punto del eslabón (CIR) y su centro de giro podemos encontrar la de cualquier otro punto del mismo.
• Aplicación de los CIR a un mecanismo de cuatro barras.
• Aplicación de los CIR a un mecanismo de biela - manivela.
3.4.3 CURVAS POLARES
Una curva polar es el lugar geométrico de todas las posiciones alcanzadas por el centro instantáneo de rotación, o polo de velocidades, de un eslabón con respecto a otro.
La figura 3.9a muestra la curva polar correspondiente a diversas posiciones del mecanismo de 4 barras y generada por el punto P24. Como tal punto tiene la misma velocidad, tanto si se considera del eslabón 2 como si se hace del 4, se desprende que tal punto no tiene velocidad. Por tal razón a esta curva polar se denomina curva polar fija, o base. Debe tenerse especial cuidado en no confundir la curva polar con la trayectoria de ningún punto cuando evoluciona el mecanismo. Piénsese que el punto P24 es centro instantáneo solo para una posición; al moverse el cuadrilátero articulado, otros puntos irán sucediéndose como centros instantáneos y configurarán la curva polar.
Cuando se realiza la inversión del mecanismo, tal como refleja la figura 3.9b, se obtiene otra curva polar que se denomina móvil, o ruleta y que se ha generado por el mismo punto P24. Ambas curvas, según se va moviendo el cuadrilátero, se mantienen tangentes en todo momento. Para una posición cualquiera el punto de tangencia es el polo de velocidades actual a tal posición.
3.4.4 POLÍGONO DE VELOCIDADES
Uno de los medios más eficaces y rápidos para el análisis de las velocidades de un mecanismo lo ofrece el polígono de velocidades. Además, como se verá en el siguiente capítulo, este método proporciona datos fundamentales para el análisis de la aceleración, como son las velocidades relativas.
La construcción de velocidades de forma gráfica realmente se funda en la ecuación vectorial
VX = VA + VXA (3.14)
donde Vx es la velocidad, en general desconocida, de un punto X cualquiera del mecanismo; VA, es la velocidad conocida de otro punto del mismo eslabón al que pertenece X y por último, VXA es la velocidad relativa de X con respecto a A. como quiera que la velocidad relativa Vxa es normal a la recta XA, el trazado de los polígonos de velocidades se realizará por aplicación de las propiedades descritas.
En la figura 3.10 puede verse un mecanismo de 4 barras con un punto E de acoplador y se pretende encontrar las velocidades de los puntos C y E, así como las velocidades relativas de los puntos B, C y E, partiendo de la velocidad VB.
a) Cálculo de VC, VCB, ω2 y ω3. La ecuación (3.14)se escribirá para este caso mediante
VC = VB + VCB (3.15)
Por un punto O cualquiera se lleva el vector VB y por su extremo se traza una perpendicular a BC (dirección del vector VCB) y por O una recta normal a CD (dirección de VC). Estas rectas se cortan cerrando el triángulo de los vectores implicados en la ecuación (3.15), determinándose VC y VCB.
La velocidad angular ω2 se obtiene por aplicación de la expresión
ω2 = VCB
BC
y la velocidad angular ω3, se hallaría directamente por medio de
ω3 = VC
CD
b) Cálculo de VE, VEB y VCE. En esta ocasión la ecuación (3.14) se desdobla en las dos siguientes
VE = VB + VEB (3.16)
VE = VC + VEC (3.17)
de las cuales son vectores conocidos VB y VC y de los vectores VEB y VEC son también datos sus direcciones (por ser ortogonales respectivamente a las EB y EC). Del vector VE no se conoce ni dirección ni módulo.
Por el extremo del vector VB se traza una perpendicular a BE (dirección de VEB)y por el extremo del vector VC se construye una recta normal a CE (soporte de la velocidad VEC). Donde ambas rectas se encuentran (punto E’) se obtiene el extremo del vector VE buscando. Los restantes vectores, VEB y VEC, forman los triángulos correspondientes en los polígonos de velocidades para que se verifiquen las relaciones (3.16) y (3.17), como puede comprobar el lector.
El triángulo E’B’C’ es semejante al EBC del acoplador, tal como se evidencia de forma inmediata, ya que ambas figuras tienen sus lados respectivos perpendiculares entre sí. Esta propiedad general tiene interesantes aplicaciones en el análisis gráfico de velocidades.
