4. CAP. 4: Análisis de Aceleraciones 1
4.1 Aceleración Lineal 2
4.2 Aceleración angular 3
4.2.1 Definición matemática 4
4.2.2 Movimiento plano 6
4.3 Dinámica de Rotación. 6
4.3.1 Energía Cinética de Rotación. 7
4.3.2 Relación entre Torque y Aceleración Angular. 9
4.4 Aceleración de Coriolis 12
4.5 Aceleración centrífuga 13
4. CAP. 4: Análisis de Aceleraciones
| 4.1 Aceleración Lineal
Aceleración lineal de un punto del disco
El componente tangencial de la aceleración lineal es:
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El componente radial es
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 |  |
Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa α. Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter vectorial.
Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional.
4.2.1 Definición matemática
Aceleración angular. En el caso general, cuando el eje de rotación no manteniene una dirección constante en el espació, la aceleración angular no tiene la dirección del eje de rotación.
Definimos el vector aceleración angular , y lo representamos por α, de modo que
siendo ω el vector velocidad angular del cuerpo alrededor del eje de rotación. Si denominamos por e el versor asociado a dicho eje, de modo que sea ω = ωe, podemos escribir
resultando que, en general, el vector ω no está localizado sobre el eje de rotación.
En el caso particular de que el eje de rotación mantenga una orientación fija en el espacio (movimiento plano), entonces será de/dt=0 y el vector aceleración angular α estará localizado sobre el eje de rotación. Esto es,
de modo que el módulo de la aceleración angular, |α|=α, es la derivada de la celeridad angular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo), su dirección es la del eje de rotación y su sentido es el de ω cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo, pero es de sentido opuesto si disminuye.
En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija en el espacio, será de/dt≠0, aunque |e|=1, ya que el versor del eje cambia de dirección en el transcurso del movimiento. Puesto que es un versor, su derivada será un vector perpendicular a e, esto es, al eje instantáneo de rotación.
Así pues, en el caso más general, la aceleración angular α se expresará en la forma
Siendo Ω la velocidad angular asociada a la rotación del eje o precesión del eje de rotación (definido por ) en el espacio.
En la expresión anterior observaremos que el vector aceleración angular tiene dos componentes: una componente longitudinal (i.e., en la dirección del eje de rotación) cuyo módulo es y una componente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es Ω x ω.
Así pues, en general,
• el vector α no tendrá la misma dirección que el vector ω.
• el vector aceleración angular α no tendrá la dirección del eje de rotación.
La dirección de la aceleración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el eje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio, esto es, en el movimiento plano.
4.2.2 Movimiento plano
En el movimiento plano del sólido rígido, la aceleración angular, al igual que la velocidad angular, tiene la dirección del eje de rotación y viene dada por:
donde θ representa el ángulo girado en función de t y ω la velocidad angular.
En el movimiento plano tanto la velocidad angular como la aceleración angular son vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento.
4.3 Dinámica de Rotación.
Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede analizar como si fuera una partícula, porque en cualquier instante, diferentes partes del cuerpo tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad, aceleración. El análisis se simplifica si se considera al objeto real como un cuerpo rígido. En este capítulo se tratará la rotación de un cuerpo rígido en torno a un eje fijo, conocido como movimiento rotacional puro.
4.3.1 Energía Cinética de Rotación.
Para un cuerpo rígido formado por una colección de partículas que gira alrededor del eje z fijo con velocidad angular ω, cada partícula del cuerpo rígido tiene energía cinética de traslación. Si la partícula de masa mi, se mueve con velocidad vi, su energía cinética es:
Eci = 1/2mi.vi2
Cada partícula del cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular ω, pero distintas velocidades lineales, porque estas dependen de la distancia r al eje de rotación, y se relacionan por vi = ω ri. Entonces la energía cinética de la partícula i es:
Ei =1/2 mi( ri .ω)2 = 1/2mi .ri2.ω2
La energía cinética total del cuerpo rígido en rotación es la suma de las energías cinéticas de cada partícula individual, esto es:
donde se factorizó ω2 porque es la misma para todo el cuerpo rígido. A la cantidad entre paréntesis en la ecuación anterior se la define como el momento de inercia, I, del cuerpo rígido:
De la definición momento de inercia, sus unidades de medida en el SI son kg•m2. Con esta definición, se puede escribir la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido como:
La energía cinética de rotación no es un nueva forma de energía, sino que es el equivalente rotacional de la energía cinética de traslación, se dedujo a partir de esa forma de energía. La analogía entre ambas energías ½ mv2 y ½ Iω2 es directa, las cantidades I y ω del movimiento de rotación son análogas a m y v del movimiento lineal, por lo tanto I es el equivalente rotacional de m (algo así como la masa de rotación), y siempre se considera como una cantidad conocida, igual que m, por lo que generalmente se da como un dato. Pero existen técnicas del calculo integral para calcular I, y teoremas asociados, que no se usarán en este curso.
El momento de inercia I es una cantidad que depende del eje de rotación, el tamaño y la forma del objeto. En la siguiente tabla 8.1 se dan los momentos de inercia respecto al centro de masa de figuras geométricas conocidas, de distribución de masa homogénea, cuando giran en torno al eje que se indica.
Para una partícula de masa m, que gira como se muestra en la figura 8.1, en una circunferencia de radio r con la acción de una fuerza tangencial Ft, además de la fuerza centrípeta necesaria para mantener la rotación. La fuerza tangencial se relaciona con la aceleración tangencial at por Ft = mat. El torque alrededor del centro del círculo producido por Ft es:
y como mr2 es el momento de inercia de la masa m que gira en torno al centro de la trayectoria circular, entonces:
τ = Ια
El torque que actúa sobre una partícula es proporcional a su aceleración angular α, donde Ι es la constante de proporcionalidad. Observar que τ = Ια es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton F = ma.
Se puede extender este análisis a un cuerpo rígido arbitrario que rota en torno a un eje fijo que pase por Ο, como se ve en la figura 8.2. El cuerpo rígido se puede considerar formado por elementos de masa dm, que giran en torno a Ο en una circunferencia de radio r, por efecto de alguna fuerza tangencial externa dFt que actúa sobre dm.
Por la segunda ley de Newton aplicada a dm, se tiene:
Observar que aunque la deducción es compleja, el resultado final es extremadamente simple, como todas las ecuaciones de la Física.
4.4 Aceleración de Coriolis
La fórmula de la aceleración de Coriolis es
aco=-2ω x v
donde ω es la velocidad angular de rotación del planeta, y v es la velocidad del cuerpo medida por el observador no inercial. El ángulo λ es la latitud del lugar considerado situado en el hemisferio Norte.
La aceleración de Coriolis en el hemisferio Norte está dirigida hacia el Este y su módulo es
ay=2ω v•sen(90+λ )=2ω v•cosλ
A lo largo del eje Z la aceleración es la de la gravedad az=g
En el plano local tenemos la composición de dos movimientos
• Uniformemente acelerado a lo largo del eje Z
• Acelerado (aceleración variable) a lo largo del eje Y
Se ha supuesto que el cuerpo parte del reposo desde la posición z=h, y=0.
La aceleración de Coriolis de un cuerpo que cae es máxima en el ecuador λ =0º y es nula en los polos λ =90º. En el polo coinciden las direcciones de los vectores velocidad angular de rotación ω y la velocidad v del cuerpo que cae, el producto vectorial de ambos vectores es por tanto, cero.
Ejemplo:
Si estamos situados en el plano del ecuador λ =0, y el cuerpo se deja caer desde una altura de 100 m, tenemos una desviación y=2.2 cm, que no se puede apreciar a simple vista.
4.5 Aceleración centrífuga
Si estamos en el hemisferio Norte, en un lugar de latitud λ. Una partícula situada en este punto describe una circunferencia de radio r=R•cosλ. La aceleración centrífuga es radial y dirigida hacia afuera, tal como se indica en la figura, su modulo es
ac=ω 2r= ω 2R•cosλ .
Los datos del planeta Tierra son:
• Velocidad angular de rotación ω, una vuelta (2•ᴨ) cada 24 horas (86400 s).
• El radio de la Tierra es de R=6370 km.
• Componente en la dirección radial, que disminuye la aceleración g0 de la gravedad
g=g0 -ω 2R•cos2λ .
La aceleración centrífuga en el ecuador λ =0º, es máxima ω2R, pero es muy pequeña comparada con g0
• Componente en la dirección Norte-Sur (eje X), que desvía los cuerpos hacia el Sur. El valor de esta componente es
ax=ac•senλ=ω2R•cosλ •senλ. Esta aceleración es nula cuando estamos en el plano ecuatorial λ =0º.
Un móvil que cae, describe un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X.
Ejemplo:
La desviación hacia el sur de un cuerpo que cae desde una altura de 100 m en un punto de latitud λ =45º es x=17.2 cm, muy pequeña para ser apreciada a simple vista.
